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%===========================================
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%===========================================
\titlespacing*{\chapter}{0pt}{2cm}{3.5cm}%left,top,bottom
\titleformat{\chapter}[display]
{\startcontents\bfseries\sffamily\color{MainRed}}
{
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
%\path (current page.north west) coordinate (A);
\coordinate (D) at ([yshift=-1cm]current page.north);
\path[fill=yellow](D)--++(0,-6)--++(2.5cm,-3mm)--++(2.5,3mm)--++(0,6) --cycle;
\node[scale=9.5,font=\color{red}] (num) at ([shift={(2.5,-2)}]D) {\thechapter};
\path[fill=cyan]([yshift=-4cm]D)--++(0,-1cm+2mm) -- ++(2mm,-2mm) --++(5cm-4mm,0) --++ (2mm,2mm)--++(0,1cm-2mm)--cycle;
\path[fill=cyan]([yshift=-.75cm]current page.north west) rectangle ([yshift=-1cm-3pt]current page.north east);
\node[scale=2.2,color=coralred] at ([yshift=-2.5cm]num) {\chaptertitlename};
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%==============================================
\path
([shift={(-11,-6.25)}]num) coordinate (A);
%triangle
\def\r{1}
\foreach \c in {0,1,2}{
\path
($(A)+(.1,-.1)+(120*\c:\r)$)coordinate(T\c) ;
}
\begin{scope}[transform canvas={xshift=0.04cm,yshift=-0.05cm}]
\fill [black, opacity=0.3]
(T0) -- (T1) -- (T2) -- cycle;
\end{scope}
\shade [top color=coralred!60!white, bottom color=coralred] (T0) -- (T1) -- (T2) -- cycle;
\end{tikzpicture}}
{10ex}
{}
[]
%------------------------------------------------------
\titleformat{name=\chapter,numberless}[display]
{\Huge\bfseries\sffamily\color{MainRed}}
{#1}
{1ex}
{\titlerule[2pt]\vspace*{5ex}\huge\normalfont}
%------------------------------------------------------
\titleformat{\section}
{\sffamily\Large\bfseries\color{cyan}}
{}
{1em}
{%
\begin{tikzpicture}
\node[name=r1, rectangle, fill=cyan, anchor=north west, font=\bfseries\color{white},
inner sep=3pt, minimum width=40mm, minimum height=10mm,
xshift=3mm, align=center, text width=10cm,
] {#1};
\node[name=c, rectangle, fill=blue, font=\color{white}, anchor=north west,
minimum width=10mm,
] {\thesection};
\draw[cyan, line width=5pt] ($(c.north east)+(0,-.5\pgflinewidth)$)
-- ({(\textwidth)},{-.5\pgflinewidth});
\end{tikzpicture}
}
%==============================================
%=============================================
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% Définitions environment
\declaretheoremstyle[
headfont=\large\normalfont\bfseries\color{MainRed},
notefont=\mdseries, notebraces={(}{)},
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}
]{mystyle}
\declaretheorem[style=mystyle,name=D\'{e}finition]{definition}
\newenvironment{Definition}[1]
{\renewcommand\thedefinition{#1}\begin{definition}}
{\end{definition}}
\numberwithin{definition}{chapter}
% % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % % %
% % % % % %% Example environment
\theoremstyle{plain}
\newmdtheoremenv[%
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innerbottommargin=0pt,%
rightline=false,% Kill all the lines except the left one
topline=false,%
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ntheorem = true% since we are using ntheorem to configure the style
]{example}{\color{blue!30!black}Exemple}[chapter]
% % % % % % % % % % % % % % % % % % %
\AddToShipoutPictureBG{
\begin{tikzpicture}[remember picture,overlay]
\fill[cyan]([yshift=1cm]current page.south west)rectangle(current page.south east) ;
\node[circle,draw=white,line width=2pt,minimum size=1cm,fill=cyan]at([yshift=0.9cm]current page.south){\bfseries\Large\textcolor{MainRed}{\thepage}};
\end{tikzpicture} }
% % % %
\begin{document}
\thispagestyle{empty}
\chapter{Matrices}
\section{Notions générales}
\begin{definition}
Une Matrice est un tableau rectangulaire de la forme
\begin{equation*}
A =
\left[
\begin{array}{ccc>{\columncolor{clight2}}c cc}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1j} & \cdots & a_{1n}\\
a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2j} & \cdots & a_{2n}\\
\vdots & \vdots &\vdots & \vdots & \vdots&\vdots \\
\rowcolor{clight2} a_{i1} & a_{i2} & \cdots & \cellcolor[gray]{.6}a_{ij} & \cdots & a_{in}\\
\vdots & \vdots &\ddots & \vdots & \vdots &\vdots \\
a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mj} & \cdots & a_{mn}
\end{array}
\right]
\end{equation*}
où les $a_{ij}$ sont des nombres réels appelés les éléments ou coefficients de la matrice $A$. La matrice précédente est aussi notée par $\left(a_{ij}\right),\;i=1,\cdots,m,\;j=1,\cdots,n$, ou simplement par $\left(a_{ij}\right)$. L'élément $a_{ij}$ est situé à l’intersection de la $i$-ème ligne et de la $j$-ème colonne. Une matrice ayant $m$ lignes et $n$ colonnes
est appelée une matrice d'ordre $(m,n)$, ou de dimension $m\times n$. Les matrices seront notées habituellement par des lettres capitales $A,\,B,\cdots$, et les éléments par des lettres minuscules $a,\,b,\cdots$.
\end{definition}
\begin{example}:
On considère les matrices suivantes:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
1 & -1 & 2\\
3 & \frac{1}{2} & \sqrt{2}
\end{bmatrix},\;
B=
\begin{bmatrix}
-\sqrt{3} \\
\frac{1}{5}\\
1
\end{bmatrix},\;
C=
\begin{bmatrix}
-1 & 0 & 1 & 5
\end{bmatrix},\;
D=
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 3 \\
5 & 6 & 2 \\
1 & -1 & 0
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
\begin{enumerate}
\item La matrice $A$ est de dimension $2\times 3$ et on a $a_{23}=\sqrt{2},\quad a_{13}=2,\quad a_{22}=\frac{1}{2}$.
\item La matrice $B$ est de dimension $3\times 1$ et on a $b_{11}=-\sqrt{3},\quad b_{21}=\frac{1}{5},\quad b_{31}=1$.
\item La matrice $C$ est de dimension $1\times 4$ et on a $C_{11}=-1,\quad C_{12}=0,\quad C_{13}=1,\quad C_{14}=5$.
\item La matrice $D$ est de dimension $3\times 3$ et on a $D_{33}=0,\quad D_{23}=2,\quad D_{32}=-1$.
\end{enumerate}
\end{example}
\section{Matrices particulières}
\begin{definition}
Une matrice ligne est une matrice comportant une seule ligne. Une matrice ligne a donc
pour dimension $1\times n$. Une matrice ligne a la forme suivante:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n}
\end{bmatrix}_{1\times n}.
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}: La matrice
$
A=
\begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 & 5 & 0
\end{bmatrix}
$ est une matrice ligne de dimension $1\times 5$.
\end{example}
\begin{definition}
Une matrice colonne est une matrice comportant une seule colonne. Une matrice colonne a donc
pour dimension $m\times 1$. Une matrice colonne a la forme suivante:
\begin{equation*}
A=\begin{bmatrix}
a_{11} \\
a_{21} \\
\vdots \\
a_{n1}
\end{bmatrix}_{n\times 1}.
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}: La matrice
$
A=
\begin{bmatrix}
-1 \\
0 \\
2 \\
4
\end{bmatrix}$ est une matrice colonne de dimension $4\times 1$.
\end{example}
\section{Opérations sur les matrice}
\begin{definition}
Soit $A$ et $B$ deux matrices de même dimension. La somme de $A$ et $B$, écrite $A+B$, est la matrice obtenue en ajoutant les éléments correspondants des deux matrices.
\begin{equation*}
\begin{aligned}
&\text{Si}\quad A=\begin{bmatrix}
a_{11} & a_{12} & a_{13}\\
a_{21} & a_{22} & a_{23}
\end{bmatrix}_{2\times 3}\;\text{et}\quad
B=\begin{bmatrix}
b_{11} & b_{12} & b_{13}\\
b_{21} & b_{22} & b_{23}
\end{bmatrix}_{2\times 3},
\\ \ \\
&\text{alors}\quad A+B=\begin{bmatrix}
a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12} & a_{13}+b_{13}\\
a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22} & a_{23}+b_{23}
\end{bmatrix}_{2\times 3}.
\end{aligned}
\end{equation*}
\end{definition}
\begin{example}: On considère les matrices:
\begin{equation*}
A=
\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1\\
1 & 3 & -1\\
\end{bmatrix},\;
B=
\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 0 \\
0 & 4
\end{bmatrix},\;
C=
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
4 & 3 \\
-1 & -1
\end{bmatrix},\;
D=
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 4
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
\begin{itemize}
\item[\ding{43}] Calchler $B+C$.
\begin{equation*}
B+C=\begin{bmatrix}
1 & 2 \\
1 & 0 \\
0 & 4
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
-2 & 1 \\
4 & 3 \\
-1 & -1
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
1+(-2) & 2+1 \\
1+4 & 0+3 \\
0+1 & 4+(-1)
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-1 & 3 \\
5 & 3 \\
1 & 3
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
\item[\ding{43}] Calculer $A+D$.
\begin{equation*}
A+D=\begin{bmatrix}
-2 & 0 & 1 \\
1 & 3 & -1
\end{bmatrix}+
\begin{bmatrix}
1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-2+1 & 0+1 & 1+0\\
1+2 & 3+0 & -1+4
\end{bmatrix}=
\begin{bmatrix}
-1 & 1 & 1\\
3 & 3 & 3
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
\item[\ding{43}] La somme de $A$ et $B$ n’est pas définie car $A$ et $B$ ne sont pas de même dimension.
\end{itemize}
\end{example}
\end{document}
